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数学笔记19——数值积分。数学笔记19——数值积分。

九月 19th, 2018  |  betway体育网站

啊是数值积分

  数值积分是计量定积分数值的方以及申辩。在数学分析中,给定函数的定积分的计算不总是实惠之。许多定积分不克为此就解的积分公式得到精确值。数值积分是用黎曼积分等数学概念,用数值逼近的艺术近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以很快而卓有成效地测算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方成立于牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分底可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策产生分析表达式。例如常见的正态分布函数:

图片 1

的原函数就无法用新当函数表示。

  不仅如此,在许多其实应用被,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中之气温、湿度、气压等,医学测量中之血压、浓度等等。另外,积分函数起或是某个微分方程的败。由于多微分方程只能数值求解,因此只好解函数在某些点上之取值。这时是无力回天用要原函数的方法算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能用还宽泛的格林公式要斯托克斯公式,以转账为较逊色维数上的积分,但不得不用来少数情景。因此,只能使用数值积分计算函数的即似值。

啊是数值积分

  数值积分是计量定积分数值的法子与申辩。在数学分析中,给定函数的定积分的测算不总是实惠之。许多定积分不克因此早已领略的积分公式得到精确值。数值积分是使黎曼积分等数学概念,用数值逼近的章程近似计算给定的定积分值。借助被电子计算设备,数值积分可以便捷而中地计算复杂的积分。

  数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方式成立在牛顿-莱布尼兹公式之上。然而,原函数可以用初等函数表示的函数为数不多,大部分底可积函数的积分无法用新当函数表示,甚至束手无策来分析表达式。例如常见的正态分布函数:

图片 2

的原函数便无法用新当函数表示。

  不仅如此,在很多实际运用中,只能解积分函数在某些特定点的取值,比如天测量中之气温、湿度、气压等,医学测量中的血压、浓度等等。另外,积分函数发或是有微分方程的解。由于广大微分方程只能数值求解,因此只好解函数在好几点及之取值。这时是无法用要原函数的章程计算函数的积分的。

  另外,当积分区域是曲面、三维形体以至于高维流形时,牛顿-莱布尼兹公式不再适用,只能采取还常见的格林公式要斯托克斯公式,以转账为比较逊色维数上的积分,但只能用来少数景象。因此,只能用数值积分计算函数的靠近似值。

数值积分的普遍公式

数值积分的周边公式

矩形公式

  就是广大的黎曼与,在切割小矩形时,可摘下左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

图片 3

  右矩形公式:

图片 4

  左右矩形公式的分如下图所示:

图片 5

左矩形公式

图片 6

右手矩形公式

矩形公式

  就是广泛的黎曼和,在切割小矩形时,可选取用左矩形或右矩形。

  左矩形公式:

图片 7

  右矩形公式:

图片 8

  左右矩形公式的别如下图所示:

图片 9

左矩形公式

图片 10

右矩形公式

梯形公式 

  与矩形公式不同,梯形公式直接以沾总是,当Δx→∞时,这看起重仿佛于与实际面积:

图片 11

图片 12

梯形公式 

  与矩形公式不同,梯形公式直接拿触发连,当Δx→∞时,这看起再也类似被同诚实面积:

图片 13

图片 14

辛普森公式

  辛普森公式是双重尖端并且于实际被精确度更强的公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是出且重之,为了计算平均高度,试图以点用抛物线相连,每个抛物线连接三只相邻之接触:

图片 15

  这里直接让闹结果。上图从x0到x2的面积可计为:

图片 16

  总面积:

图片 17

辛普森公式

  辛普森公式是又尖端并且以实际上被精确度更胜似之公式,它的核心思想是面积≈
底边长 ×
平均高度。高度是发出且重之,为了计算平均高度,试图以点用抛物线相连,每个抛物线连接三只相邻的触及:

图片 18

  这里一直为出结果。上图从x0到x2的面积可计为:

图片 19

  总面积:

图片 20

数值积分的应用

数值积分的利用

示例1

  计算y = 1/x以x = 1和 x =
2之间和x轴围成的面积:

图片 21

  下面是殊计算办法的对立统一。

  实际面积:

图片 22

  梯形公式:

 图片 23

  辛普森公式:

图片 24

  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将不胜类似真实值。

示例1

  计算y = 1/x每当x = 1和 x =
2之间以及x轴围成的面积:

图片 25

  下面是差计算方法的相比。

  实际面积:

图片 26

  梯形公式:

 图片 27

  辛普森公式:

图片 28

  这个例子中,辛普森公式远较梯形公式精确,实际上,|真实值
– 辛普森值| ≈ (Δx)4,如果Δx =
0.1,辛普森值将非常类似真实值。

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
图片 29,Δx=π/4

  梯形公式:

 图片 30

  辛普森公式:

 图片 31


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文为学、研究和享用为主,如需要转载,请联系我,标明作者及出处,非商业用途! 

 

示例2

  用梯形公式和辛普森公式估算
图片 32,Δx=π/4

  梯形公式:

 图片 33

  辛普森公式:

 图片 34


  作者:我是8位的

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